Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica
Analisi Matematica – Terzo modulo- A.A. 2003-2004
Programma del terzo modulo del corso di Analisi (Analisi Matematica Due)
(Prof. Paolo Marcellini)
SUCCESSIONI E SERIE
DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni.
Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il
segno di integrale e di derivata. Convergenza puntuale, uniforme e totale di
una serie di funzioni. I teoremi di continuità della somma di una serie, di
integrazione e di derivazione per serie. Cenni sulle serie di potenze. Serie di
Taylor. Criterio di sviluppabilità di una serie di Taylor. Sviluppi di alcune
funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6)
FUNZIONI REALI DI
DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Cenni sullo spazio vettoriale R2 ed elementi di
topologia di R2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Limiti e continuità. I
teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Il teorema di Schwarz.
Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema di
derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Interpretazione
geometrica del vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con
gradiente nullo in un aperto connesso di R2. Formula di Taylor al secondo
ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Massimi e minimi
relativi per le funzioni di due variabili: condizioni necessarie del primo e
del secondo ordine e condizioni sufficienti. Proprietà di differenziabilità
delle funzioni di tre o più variabili. (Paragrafi 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19)
EQUAZIONI
DIFFERENZIALI LINEARI. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari
di ordine n. Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione
differenziale lineare di ordine n. Equazioni differenziali lineari del
primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, omogenee e
non omogenee. Soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea. Determinante
wronskiano. Integrale generale dell’equazione omogenea (e dell’equazione non
omogenea). Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Il
metodo della variazione delle costanti. (Paragrafi 21, 22, 23, 24, 25)
Si fa
riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
N.Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due,
Liguori Editore.
Firenze, 9 dicembre
2003